Asignaturas: descripción

Asignatura A44633. Información administrativa

Titulación:
I. T. de Telecomunicación. Telemática


Departamento:
Análisis Matemático y Didáctica de la Matemática

Centro:
E.T.S. de Ingenieros de Telecomunicación
Campus "Miguel Delibes". Camino del Cementerio s/n. 47011 Valladolid

Curso: 1º
Carácter: Troncal
Impartición: Anual
Número de créditos: 9.0
Ofertada actualmente: Sí
Observaciones:

Descripción de la asignatura

Página web:

• Página oficial de la UVA

Profesores:

• Javier Sanz Gil

Correo electrónico de contacto:

jsanzgamuvaes

Objetivos:

Adquirir destreza en el manejo de las herramientas matemáticas básicas propias del cálculo diferencial e integral en una y varias variables reales.

Descripción:



Contenidos:

I. Números reales y complejos
1. Prerrequisitos: Nociones elementales relativas a los conjuntos, las relaciones y las aplicaciones. Números naturales, enteros y racionales.
2. Número real: Definición axiomática. Principio del extremo superior.
3. Números complejos: Generalidades. Interpretación geométrica. Conjugación y módulo. Exponencial compleja, expresión polar. Argumento. Potencias y raíces de números complejos.

II. Cálculo diferencial en una variable real
1. Límites y continuidad: Propiedades generales. Teoremas de Bolzano y Weierstrass.
2. Cálculo diferencial: Concepto de derivada de una función en un punto. Propiedades. Interpretación geométrica. Función derivada. Regla de la cadena. Derivación de la función inversa. Teoremas de valor medio. Teorema de Taylor. Aplicaciones.
3. Funciones elementales: Estudio de la continuidad, derivabilidad, monotonía, etc. de las funciones elementales.

III. Cálculo integral en una variable real
1. Cálculo de primitivas: Métodos elementales de integración.
2. La integral de Riemann: Funciones integrables, propiedades generales. Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Regla de Barrow. Cambio de variable. Aplicaciones.
3. Integrales impropias: Convergencia. Integrales impropias de funciones positivas. Criterios de convergencia. Convergencia absoluta.

IV. Cálculo diferencial en varias variables
1. Límites y continuidad: El espacio euclídeo Rn. Normas equivalentes. Aplicaciones de Rn en Rm. Límites y continuidad. Propiedades generales.
2. Derivabilidad y diferenciabilidad: Derivadas direccionales, derivadas parciales, diferenciabilidad. Regla de la cadena. Derivadas de orden superior. Fórmula de Taylor. Extremos relativos.
3. Curvas y superficies en R3: Curva paramétrica, curva geométrica, vector tangente, orientación. Superficies paramétricas, plano tangente, vector normal, orientación. Superficies definidas implícitamente.

V. Integración múltiple
1. La integral de Riemann en R2 y R3: Funciones integrables en rectángulos, propiedades elementales. Teorema de Fubini. Extensión del concepto de integral y del teorema de Fubini para funciones definidas en conjuntos más generales.
2. Cambios de Variable: Teorema del cambio de variable. Coordenadas polares en R2. Coordenadas cilíndricas y esféricas en R3.

VI. Cálculo vectorial
1. Campos escalares y vectoriales: Campos escalares. Gradiente, variedades equipotenciales. Campos vectoriales. Rotacional, divergencia. Fórmulas del cálculo vectorial. Campos conservativos, campos solenoidales.
2. Integrales curvilíneas: Integral de funciones escalares sobre una curva. Circulación de un campo a lo largo de una curva. Fórmula de Green.
3. Integración en superficies: Integración de funciones escalares sobre una superficie; área de una superficie paramétrica. Flujo de un campo a través de una superficie.
4. Teorema de Stokes: Superficies con borde; orientación del borde. Teorema de Stokes. Campos conservativos.
5. Teorema de Gauss: Abiertoscon frontera diferenciable a trozos. Teorema de Gauss. Campos incompresibles.

VII. Series de potencias en el dominio complejo y transformada Z
1. Series de potencias: Lema de Abel; radio de convergencia. Propiedades de las funciones definidas mediante series de potencias. Funciones analíticas.
2. Transformada Z: Definición y propiedades. Inversión. Cálculo operacional. Aplicaciones al estudio de ecuaciones en diferencias.



Prácticas:

Se entregarán apuntes teóricos de cada tema, que servirán de guión en las explicaciones. En ellos se incluyen colecciones de problemas que deberán ser trabajadas por los alumnos; algunos de los problemas serán resueltos en las clases prácticas. A su debido tiempo, se proporcionarán soluciones breves de todos los problemas propuestos.



Evaluación:

Se realizarán un examen parcial (en enero o febrero) y un examen final de la asignatura (en junio), en los que se propondrán varios problemas y cuestiones prácticas. Los alumnos que aprueben el parcial pueden examinarse en el final únicamente de la segunda parte de la asignatura (o de toda la asignatura, si lo desean). El examen de septiembre será en todos los casos de toda la asignatura.

Observaciones:

Bibliografía:
Apostol: CALCULUS Vols.1 y 2, Ed. Reverté.
de Burgos: Cálculo Infinitesimal de una variable, Ed. McGraw-Hill.
de Burgos: Cálculo Infinitesimal de varias variables, Ed. McGraw-Hill.
Marsden: Cálculo Vectorial, Ed. Addison-Wesley.
Pita Ruiz: Cálculo Vectorial, Ed. Prentice-Hall Iberoamericana.
Spiegel: Análisis Vectorial, Ed. McGraw-Hill (Serie Schaum).
Spiegel: Cálculo Superior, Ed. McGraw-Hill (Serie Schaum).

Libros de Problemas:

Coquillat: Cálculo Integral, Ed. Tebar Flores.
Fdez. Viña: Ejercicios y Complementos de Análisis Mat. I, Ed. Tecnos.
Fdez. Viña: Ejercicios y Complementos de Análisis Mat. II, Ed. Tecnos.
Fdez. Viña: Ejercicios y Complementos de Análisis Mat. III, Ed. Tecnos.
Galindo, Sanz, Tristán: Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en una Variable Real, Ed. Thomson.
Pao: Cálculo Vectorial (Marsden). Problemas Resueltos, Ed. Addison-Wesley.
Pestana Galván y otros: Variable Compleja. Un curso práctico, Ed. Síntesis.
Tebar Flores: Cálculo Infinitesimal Vol. 1 y 2, Ed. Tebar Flores.